设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系．试证明： （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关．

题目

设η₀是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ₁，ξ₂是其导出组Ax=0的一个基础解系．试证明：
（1）η₁=η₀+ξ₁，η₂=η₀+ξ₂均是Ax=b的解；
（2）η₀，η₁，η₂线性无关．

答案

证明：（1）由于Aη₀=b，Aξ₁=Aξ₂=0，因此
Aη_i=Aη₀+Aξ_i=b+0=b（i=1，2）
∴η₁=η₀+ξ₁，η₂=η₀+ξ₂均是Ax=b的解
（2）设k₁η₀+k₂η₁+k₃η₂=0，则
（k₁+k₂+k₃）η₀+k₂ξ₁+k₃ξ₂=0
等式两边左乘A得
（k₁+k₂+k₃）b+0+0=0
由b≠0，得
k₁+k₂+k₃=0
∴k₂ξ₁+k₃ξ₂=0
再由ξ₁，ξ₂线性无关，得k₂=k₃=0．
∴k₁=k₂=k₃=0
∴η₀、η₁、η₂线性无关