如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点C作BD的垂线与∠BAD的平分线交于E 求证：AC=CE

题目

如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点C作BD的垂线与∠BAD的平分线交于E 求证：AC=CE

答案

证明：延长DC交AE于P,过点C作CM⊥AE于M,AE与BC交于点N
∵矩形ABCD
∴∠BCD＝∠BCF＝∠BAD＝∠ABC＝90,∠DBC＝∠ACB
∴∠BDC+∠DBC＝90
∵CG⊥BD
∴∠DCG+∠BDC＝90
∴∠DBC＝∠DCG
∴∠ACB＝∠DCG
∵∠ECP＝∠DCG
∴∠ACB＝∠ECP
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝∠BAD/2＝45
∵AD∥BC
∴∠CNE＝∠DAE＝45
∴等腰RT△CNP
∴∠CPN＝∠CNE＝45,CP＝CN
∴∠ANC＝180-∠CNE＝135,∠CPE＝180-∠CPN＝135
∴∠ANC＝∠CPE
∴△ANC≌△EPC （ASA）
∴AC＝CE