如果a>b,ab=1

题目

如果a>b,ab=1
求证：a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘（a-b) 并指明何时取等号

答案

∵a＞b,∴a－b＞0,∴a－b＋2/（a－b）≥2√｛（a－b）［2/（a－b）］｝＝2√2,
∴（a－b）^2＋2≥2√2（a－b）,∴a^2－2ab＋b^2＋2≥2√2（a－b）.
而ab＝1,代入上式后整理,得：a^2＋b^2≥2√2（a－b）.
显然,当a－b＝2/（a－b）时,取等号.此时,a－b＝√2,又ab＝1,得：－ab＝－1.
∴由韦达定理,得：a、－b为方程x^2－√2x－1＝0的两根.
∴x＝［√2±√（2＋4）］/2＝（√2±√6）/2.
而a＞b,∴a＝（√2＋√6）/2,－b＝（√2－√6）/2,得：b＝（√6－√2）/2.
即当a＝（√6＋√2）/2,b＝（√6－√2）/2时,取等号.