已知f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]2+f（x2）的最大值及y取最大值时x的值．

题目

已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，求y=[f（x）]²+f（x²）的最大值及y取最大值时x的值．

答案

∵f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）
=（log₃x）²+6log₃x+6，令t=log₃x
由题意可得

1≤x≤9 1≤x2≤9

即1≤x≤3，则t∈[0，1]
∴y=t²+6t+6=（t+3）²-3在[0，1]上单调递增
当t=1即x=3时，函数有最大值，y_max=13

由f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，可得y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，且

1≤x≤9 1≤x2≤9

即1≤x≤3，则t∈[0，1]，令t=log₃x，则t∈[0，1]，从而有y=t²+6t+6=（t+3）²-3，结合二次函数的性质可求函数的最大值及取得最大值的x

本题考点：对数函数的值域与最值；二次函数的性质；对数的运算性质．

考点点评：本题主要考查了对数的运算性质的应用，二次函数闭区间上的最值的求解，解答本题时容易漏掉考虑复合函数的定义域，还把所求的函数的定义域当作1≤x≤9，而出现最大值为22