x∈[0,π],求y=sin(x/2)(1+cosx)的最大值

题目

x∈[0,π],求y=sin(x/2)(1+cosx)的最大值
用高二上册的“算术平均数和几何平均数”的知识解答

答案

x∈[0,π],x/2∈[0,π/2],sin(x/2)>0
y=sin(x/2)(1+cosx)=√[(1-cosx)/2](1+cosx)>0,即
y^2=[(1-cosx)/2](1+cosx)^2=(2-2cosx)(1+cosx)(1+cosx)/4
≤[（2-2cosx+1+cosx+1+cosx)/3]^3/4=16/27
当且仅当2-2cosx=1+cosx,即cox=1/3时等号成立
所以y≤4√3/9