在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=2ccosC． （Ⅰ）求内角C； （Ⅱ）若a=3，c=7，求b．

题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求内角C；
（Ⅱ）若a=3，c=

7

，求b．

答案

（Ⅰ）∵bcosA+acosB=2ccosC，①由正弦定理知，b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，②（2分）将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB=4sinCcosC，化简，得sin（A+B）=sinC=2sinCcosC．（5分）∵sinC≠0，∴12，∴C＝π3...

（1）利用正弦定理将边化成角，再根据和角公式进行化简即可求出角C；
（2）直接利用余弦定理建立关于b的等式关系，解方程即可求出b的值．

本题考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理．

考点点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，正弦定理、余弦定理是解决有关斜三角形的两个重要定理，属于基础题．