一道线性代数的题

题目

一道线性代数的题
已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A的三次方,证明E-A可逆,并求(E-A)的逆矩阵
最后答案应该是A^2-A+E

答案

2A^2-2A=A^3,A^3-2A^2+2A=0
A^3-2A^2+2A-E=-E
A^3-E-2A(A-E)=-E
(A-E)[(A^2+AE+E)-2A]=-E
(A-E)(A^2-A+E)=-E
所以（A-E）是可逆的,也就是E-A可逆
E-A的逆矩阵就是(A^2-A+E)