如图延长圆O的直径BA到P,使PA=12 AB 作割线PCD交圆O于C,D 连接AC,BD 若AC＝DC 则tanB＝

题目

如图延长圆O的直径BA到P,使PA=12 AB 作割线PCD交圆O于C,D 连接AC,BD 若AC＝DC 则tanB＝

答案

连 OC、DA、BC.
∵ PA = （1/2）AB
∴ PA = OA = OB = OC
∴ PO ：PB = 2 ：3
∵ BA 是圆O的直径
∴ ∠BDA = 90°
∵ AC = DC
∴ 弧AC = 弧DC
∴ ∠DBC = ∠CBA
又∵ ∠OCB = ∠CBA
∴ ∠DBC = ∠OCB
∴ BD ‖ OC
∴ △PCO ∽ △PDB
∴OC ：BD = PO ：PB = 2 ：3
∴ BD = （3/2）OC
∴ BD的平方 = （9/4）× OC的平方
在Rt△BDA 中,∵ BD的平方 + DA的平方 = BA的平方
∴ DA的平方 = BA的平方 -- BD的平方
= （2×OC）的平方 -- （9/4）× OC的平方
= （7/4）× OC的平方
∴ DA的平方 / BD的平方 = [（7/4）× OC的平方 ] / [ （9/4）× OC的平方 ]
= 7/9
∴ DA ：DB = √7 ：3
∴tanB＝DA ：DB = √7 ：3