如图 圆o是三角形ABC的外接圆且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D

题目

如图 圆o是三角形ABC的外接圆且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,点D在弧BC上运动,过点D作DE∥BC,DE交AB的延长线于点E,连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）当点D运动到什么位置时,DE是⊙O的切线?请说明理由．
（3）当AB=5,BC=6时,求⊙O的半径．

答案

证明：
（1）
因为：AB=AC（已知）
所以：∠ABC=∠C（三角形中,等边对等角）
因为：∠ADB=∠C（同弧所对的圆周角相等）
所以：∠ABC=∠ADB
因为：DE∥BC（已知）
所以：∠ABC=∠E（平行线同位角相等）
所以：∠ADB=∠E
（2）连接AO,延长交BC于G,交圆于H.
结论：当D运行到H点时,DE是圆的切线.
证明：
因为：AB弧=AC弧（等弦对等弧）,AH是直径（所做）
所以：AH⊥BC（平分圆弧的直径,也垂直圆弧所对的弦）
所以：∠AHE=∠AGB=90°（平行线同位角相等）
所以：AH是圆的切线（过直径一端,垂直于直径的直线是圆的切线）
（3）设圆的半径为r.连接OB,则OA=OB=r.
已知：AD=5,BC=6
则：BG=3（垂直于弦的直径平分弦）,AG=4（勾股定理）
在RT⊿BOG中,OG²+BG²=OB²,即：(4-r)²+3²=r²,解得：r=25/8