设正数数列{an}的前n项和是bn，数列{bn}的前n项之积是cn，且bn+cn=1（n∈N*），则{1/an}的前10项之和等于_．

题目

设正数数列{a_n}的前n项和是b_n，数列{b_n}的前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1（n∈N^*），则{

1

an

}的前10项之和等于______．

答案

由题意可得，a1=b1=c1=12bn+cn=1∴bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1∴2bn+1-bnbn+1-1=0∴bn+1（2-bn）=1∴0＜bn＜2若bn+1=1则bn=1，bn-1=bn-2=…=b1=1与 b1=12矛盾∴bn+1≠1∴bn+1-1=bn+...

由题意可得，a1=b1=c1=

1

2

，由b_n+c_n=1可得b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1即2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，则b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）=（b_n-1）（b_n+1-1+1）=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1），从而可得

1

bn-1

=1+

1

bn+1-1

，由等差数列的通项公式可得，

1

bn-1

=-2+(n-1)×(-1)可求 bn=

n

n+1

，利用递推公式a_n=b_n-b_n-1可求a_n

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题中的构造特殊的等差数列是解答本题的关键，对本题要求考生具备一定的逻辑退理的能力