如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA. (1)求证:直线MN是⊙O的切线; (2)过点A作AD⊥MN于点D,交⊙O于点E,已知AB=6,BC=3,求阴影部分
题目
如图,AB是⊙O的直径,C为圆周上的一点,过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA.
(1)求证:直线MN是⊙O的切线;
(2)过点A作AD⊥MN于点D,交⊙O于点E,已知AB=6,BC=3,求阴影部分的面积.
答案
(1)证明:连接OC,
∵AB是⊙O直径,C为圆周上的一点,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,又∠MCA=∠CBA,
∴∠MCA=∠OCB,
∴∠ACO+∠MCA=90°,
即OC⊥MN,
∵OC为半径,
∴直线MN是⊙O的切线;
(2) 连接OE,CE,
由(1)OC⊥MN,AD⊥MN,得OC∥AE,
在Rt△ACB中,cos∠B=
=
,
∴∠B=60°,
∴OC=OB=BC=3,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠COB=60°,
∵OC∥AE,
∴∠EAO=∠COB=60°,
∵OE=OA,
∴△OEA是等边三角形,
∴OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S
△EAC=S
△EOC,
于是S
阴影=S
△ADC-S
扇形EOC,
在Rt△ACB中,BC=3,AB=6,∴AC=3
,
在Rt
△ADC中,AC=3
,∠DCA=∠B=60°,∴DC=
,AD=
,
∴S
△ADC=
AD•DC=
,而S
扇形EOC=
=
,
于是S
阴=S
△ADC-S
扇形EOC=
.
(1)连接OC,求出∠ACB=90°,求出∠B=∠OCB=∠DCA,∠OAC=∠OCA,根据∠B+∠CAB=90°推出∠OCA+∠DCA=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)连接OE,CE,得出OC∥AE,求出∠B=60°,推出△OBC是等边三角形,△OEA是等边三角形,推出OC=AE,四边形AOCE是平行四边形,故S△EAC=S△EOC,得出S阴影=S△ADC-S扇形EOC,分别求出△ADC和扇形EOC的面积,代入后求出即可.
切线的判定;扇形面积的计算.
本题考查了切线的性质和判定,等腰三角形的性质,扇形的面积,三角形的面积,平行四边形的性质和判定等知识点的应用,主要考查学生的计算和推理能力,题目综合性比较强,难度偏大.
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