用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为x(cm)规格的地砖,恰用n块;若选用边长为y(cm)规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x、y、n都是正整数,且(x,y)=
题目
用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为x(cm)规格的地砖,恰用n块;若选用边长为y(cm)规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块.已知x、y、n都是正整数,且(x,y)=1.试问:这块地有多少平方米?
答案
设这块地的面积为S,则S=nx
2=(n+124)y
2,得n(x
2-y
2)=124y
2.
∵x>y,(x,y)=1,
∴(x
2-y
2,y
2)=l,得(x
2-y
2)|124.
∵124=2
2×31,x
2-y
2=(x十y)(x-y),x十y>x-y,且x十y与x-y奇偶性相同,
或
解之得x=16,y=15,此时n=900.
故这块地的面积为S=nx
2=900×16
2=230400(cm
2)=23.04(m
2).
故答案为:23.04m
2.
先设出这块地的面积,再根据正方形的面积公式得到关于x、y、n的关系式,再根据x十y与x-y的奇偶性相同得到关于x、y的方程组,求出x、y及n的值,再代入这块地的面积表达式即可求解.
奇数与偶数.
本题考查的是整数的奇偶性问题,虽然同一块地有不同的铺法,但是这块地的面积不变,利用面积不变建立x、y、n的等式,寻找解题的突破口是解答此题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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