如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC形内一点,且∠APB=∠APC=135°. (1)求证:△CPA∽△APB; (2)试求tan∠PCB的值.
题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC形内一点,且∠APB=∠APC=135°.
(1)求证:△CPA∽△APB;
(2)试求tan∠PCB的值.
答案
(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠BAC=45°,即∠PAC+∠PAB=45°,
又在△APB中,∠APB=135°,
∴∠PBA+∠PAB=45°,
∴∠PAC=∠PBA,
又∠APB=∠APC,
∴△CPA∽△APB.
(2)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴
=,
又∵△CPA∽△APB,
∴
===,
令CP=k,则
PA=k,PB=2k,
又在△BCP中,∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°,
∴
tan∠PCB==2.
(1)结合题意,易得∠BAC=45°,从而可得出∠PAC+∠PAB=45°,又在△APB中,∠APB=135°,以及∠APB=∠APC,即可得出△CPA∽△APB;
(2)由于△ABC是等腰直角三角形,即可得出CA和AB之间的关系,利用(1)的条件,
===,在△BCP中,∠BPC=90°,易得出tan∠PCB的值.
相似三角形的判定与性质;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义.
本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点,熟练三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质,三角形外角的性质,勾股定理等知识点,综合性较强,有一定难度.
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