隐函数偏导数证明题

题目

隐函数偏导数证明题
ax+by+cz=F(x^2+y^2+z^2)满足(cy-bz)∂z/∂x+(az-cx)∂z/∂y=bx-ay

答案

令 G（x,y,z）=ax+by+cz - F(x^2 + y^2 + z^2)
用隐函数求导公式：
∂z/∂x
= － (∂G/∂x)/ (∂G/∂z)
= － (a - 2x * F ' )/ (c - 2z* F ')
∂z/∂y
= － (∂G/∂y)/ (∂G/∂z)
= － (b - 2y * F ' )/ (c - 2z* F ')
代入,
左边＝ －〔(cy-bz)(a-2x * F ')+(az-cx)(b-2y F ')〕/ (c - 2z F ')
＝－〔acy - bcx + 2bxzF ' - 2ayzF '〕/ (c - 2z F ')
＝〔c(bx-ay) - 2z F '(bx-ay)〕／(c - 2z F ')
＝ bx-ay ＝右边
证毕.