f（x）是连续函数,满足f(x)=exp{∫f(t/3)dt},积分上限是3x ,下限是0,求f(x

题目

f（x）是连续函数,满足f(x)=exp{∫f(t/3)dt},积分上限是3x ,下限是0,求f(x

答案

f(x)=exp{∫(0,3x)f(t/3)dt}
两边同时求导得
f'(x)=exp{∫(0,3x)f(t/3)dt}* (∫(0,3x)f(t/3)dt)'
=f(x)*f(x)*3
=3f²(x)
所以
【1/f²(x)】df(x)=3dx
-1/f(x)=3x+c
f(x)=-1/(3x+c)
又x=0时,f(0)=1
所以
1=-1/c
c=-1
即
f(x)=-1/(3x-1)