已知a∈R,求函数f(x)=(2-3a)x2-2x+a在区间[0,1]上的最小值.
题目
已知a∈R,求函数f(x)=(2-3a)x2-2x+a在区间[0,1]上的最小值.
答案
Ⅰ、当2-3a=0,即
a=时,
f(x)=−2x+在[0,1]上递减
∴
fmin(x)=f(1)=−(2分)
当2-3a≠0,即
a≠时,f(x)为二次函数 (3分)
Ⅱ、若2-3a>0,即
a<时,f(x)的开口向上,其对称轴为
x=(4分)
①当2-3a>1时,即
a<时,此时
0<<1,
∴
fmin(x)=f()= (6分)
②当 0<2-3a≤1,即
≤a<时,此时
≥ 1,f
min(x)=f(1)=-2a (8分)
Ⅲ、若2-3a<0,即a
>时,f(x)的开口向下,其对称轴为
x= (9分)
f
min(x)=f(1)=-2a (10分)
综上可得:
fmin(x)= (12分)
先对二次项系数进行分类讨论,再考虑二次函数的对称轴与区间的位置关系,从而确定函数f(x)=(2-3a)x2-2x+a在区间[0,1]上的最小值.
二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.
本题重点考查函数在指定区间上的最值,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是掌握二次函数求最值的方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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