空间四边形ABCD中P,Q,M,N分别是线段AB,BC,CD,DA的中点且AB=Ad,CB=CD,求证BD⊥AC,四边形PQMN是矩形

题目

空间四边形ABCD中P,Q,M,N分别是线段AB,BC,CD,DA的中点且AB=Ad,CB=CD,求证BD⊥AC,四边形PQMN是矩形

答案

因为P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点
PQ和MN均为中位线
所以,PQ=AC/2,PQ∥AC
MN=AC/2,MN∥AC
所以PQ=MN,且PQ∥MN
所以四边形PQMN是平行四边形,
设BC的中点为E,连接AE,DE
因为AB=AD,CB=CD
所以AE⊥BC,CE⊥BC
由三垂线定理可得,BD⊥AC
因为AC∥MN,BD∥MQ
所以MQ⊥MN
所以四边形PQMN是一个矩形