高数 积分 变量代换 问

题目

高数 积分 变量代换 问
令x-t=u,则 积分0到xf(x-t)dt=积分0到xf(u)du 请问是怎么推导的

答案

令u=x-t,则du=-dt(注x只是一个常数,u、t才是变量)
当t=0时,u=x；当t=x时,u=0（注这是t和u的对应关系,决定变换后的积分上下限）
因此,积分上下限从0到x：f(x-t)dt,当被积变量从t变成u后,相应有：
积分上下限从x到0：f(u)（-du）
将上式负号改变u的上、下限变化,则它们颠倒过来,即：
积分上下限从0到x：f(u)du