O在△ABC内部,OA(向量)+2OB(向量)+3OC(向量)=0,求△ABC与△AOC面积之比

题目

O在△ABC内部,OA(向量)+2OB(向量)+3OC(向量)=0,求△ABC与△AOC面积之比
有大致过程即可,过程不是非常重要只作为结果正确的依据.不过一定要给出!正确!结果,谢谢.

答案

S△AOC:S△AOB:S△BOC=2:3:1
S△ABC:S△AOC=3:1
延长OB至B',使OB'=2OB;延长OC至C',使OC'=3OC;
连结B'C',取B'C'中点D,连结OD并延长至A',使DA'=OD;
连结B'A',C'A',则四边形OB'A'C'为平行四边形
所以2OB+3OC=OB'+OC'=OA'
又因OA+2OB+3OC=0
即OA+OA'=0,或AO=OA’
所以A,O,A'三点共线,且模AO=模OA’
利用同底等高三角形面积相等等得
S△AOC=S△A'OC=S△OCB'=2S△BOC
S△AOB=S△A'OB=S△OBC'=3S△BOC
所以S△AOC:S△AOB:S△BOC=2S△BOC:3S△BOC:S△BOC=2:3:1
即:S(ABC):S(AOC)=3:1