在三角形ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA,PC为邻边做平行四边形APCD,AC与PD相交于点E

题目

在三角形ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA,PC为邻边做平行四边形APCD,AC与PD相交于点E
已知∠ABC=∠AEP(o°＜α＜90°).EEO
(1)求证∠EAP=∠EPA
(2)平行四边形APCD是否为矩形?请说明理由.
(3)若F为BC中点,连接EP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.

答案

证明：（1）在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP．
（2）答：APCD是矩形．
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由（1）知∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,
则AC=PD,
APCD是矩形．
（3）答：EM=EN．
∵EA=EP,
∴∠EPA=90°- 1/2α,
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°- 1/2α）=90°+ 1/2α,
由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- 1/2α+α=90°+ 1/2α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN即∠MEA=∠NEP,
∴△EAM≌△EPN,
∴EM=EN．