已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=120°,∠BAC=θ,记f(θ)=AB•BC. (Ⅰ)求f(θ)关于θ的表达式; (Ⅱ)求f(θ)的值域.

已知△ABC中,|AC|=1,∠ABC=120°,∠BAC=θ,记f(θ)=AB•BC. (Ⅰ)求f(θ)关于θ的表达式; (Ⅱ)求f(θ)的值域.

题目
已知△ABC中,|
AC
|=1
,∠ABC=120°,∠BAC=θ,记f(θ)=
AB
BC


(Ⅰ)求f(θ)关于θ的表达式;
(Ⅱ)求f(θ)的值域.
答案
(I)由正弦定理有:
|BC|
sinθ
1
sin1200
|AB|
sin(600−θ)

|BC|=
1
sin1200
sinθ
|AB|=
sin(600−θ)
sin1200

∴f(θ)=
AB
BC
=
4
3
sinθ•sin(600−θ)•
1
2
=
2
3
(
3
2
cosθ−
1
2
sinθ)sinθ
=
1
3
sin(2θ+
π
6
)−
1
6
(0<θ<
π
3
)

(II)由0<θ<
π
3
π
6
<2θ+
π
6
6

1
2
<sin(2θ+
π
6
)≤1

∴f(θ)∈(0,
1
6
]
(I)利用三角形的正弦定理求出三角形的边AB,BC,利用向量的数量积公式及和三角函数的和、差角公式表示出f(θ).
(II)先求出角2θ+
π
6
,再利用三角函数的图象求出sin(2θ+
π
6
)
,求出f(θ)的值域.

平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域;正弦定理.

本题考查三角函数的正弦定理、三角函数的和差角公式、向量的数量积公式、整体思想求三角函数的值域.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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