如图,在直角坐标系中,以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点.E为⊙O上在第一象限的某一点,直线BF交⊙O于点F,且∠ABF=∠AEC,则直线BF对应的函数表达

如图,在直角坐标系中,以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点.E为⊙O上在第一象限的某一点,直线BF交⊙O于点F,且∠ABF=∠AEC,则直线BF对应的函数表达

题目
如图,在直角坐标系中,以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点.E为⊙O上在第一象限的某一点,直线BF交⊙O于点F,且∠ABF=∠AEC,则直线BF对应的函数表达式为______.
答案
根据圆周角定理得,∠AEC=
1
2
∠AOC=45°,
∵∠ABF=∠AEC=45°,
∴点F与点C或D重合;
当点F与点C重合时,设直线BF解析式y=kx+b,
b=1
k+b=0
,解得
k=−1
b=1

∴直线BF的解析式为y=-x+1,
当点F与点D重合时,同理可得y=x-1.
由题意可知,∠AEC=
1
2
∠AOC=45°;当∠ABF=∠AEC=45°时,只有点F与点C或D重合,根据待定系数法可求出直线BF对应的函数表达式.

待定系数法求一次函数解析式;直线与圆的位置关系.

本题考查了圆周角定理的运用及待定系数法求解析式的方法.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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