有10个三好生名额,分配到六个班中,每班至少一名,共有几种分法?

题目

有10个三好生名额,分配到六个班中,每班至少一名,共有几种分法?
要求有详细的说明,最好有多种解法.答案为126.

答案

非常简便的方法.
由于只涉及到名额不涉及到人,故是个组合问题.
将10个名额写成10个1进行排列.
如下：
1____1____1____1____1____1____1____1____1____1
这10个1中间有9个空.
在这9个空中间选5个空填上“+”号或其它分隔符号.
如下：
1____1_+ _1_+ _1____1_+ _1_+ _1_+ _1____1____1
这个就产生了一个名额分配方法.
5个加号把10个1分隔成了6个部分.
上例中,第1个加号左边有2个1,然后第1个和第2个加号之间有1个1,
然后第2个和第3个加号之间有2个1,然后第3个和第4个加号之间有1个1,
然后第4个和第5个加号之间有1个1,然后第5个加号右边有3个1.
这样,令每个班的分配到的名额等于上面分隔成的6个部分依次对应的1的个数,就形成了一种分法.
上例中,第1个班有2个名额,第2个班有1个名额,第3个班有2个名额,
第4个班有1个名额,第5个班有1个名额,第6个班有3个名额.
显然,五个加号的位置只要稍微有一点变化,就会形成不同的分法.
加号的位置选取与名额的分配方法是一一对应的.
故名额的分配方法数,等于加号的位置选取方法数.
9个空填入5个加号,故有方法数为
C(5,9)=126
C(5,9)表示组合,上标为5,下标为9.