△ABC,BD与 CE 分别为内角平分线,过A做AF 和AG垂直于BD和CE,求证FG≒1／2﹙AB＋AC－BC﹚.

题目

△ABC,BD与 CE 分别为内角平分线,过A做AF 和AG垂直于BD和CE,求证FG≒1／2﹙AB＋AC－BC﹚.

答案

延长AG,交BC于M；延长AF,交BC于N
因为CG⊥AM,CG平分∠ACB
所以AG=MG=AM/2,AC=MC
因为BF⊥AN,BF平分∠ABC
所以AF=FN=AN/2,AB=BN
因为AG=AM/2,AF=AN/2
所以GF=MN/2
因为AC=MC=MN+NC,AB=BN=BM+MN
所以AC+AB=MN+NC+BM+MN
因为BC=MN+NC+BM
所以AC+AB=BC+MN
即MN=AB+AC-BC
因为GF=MN/2
所以FG=1/2（AB+AC-BC）