矩形的长 宽 对角线都为整数,证明 面积为12的倍数
题目
矩形的长 宽 对角线都为整数,证明 面积为12的倍数
详细一点
答案
在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长(a)宽(b)和对角线(c)构成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)(其中k,m,n均为正整数)
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除;(包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>)
2.若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m+n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除;(包含余数对为<1,2>,<2,1>)
3.若m,n中有一个除以3余0,则m和n中有一个必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除;(包含余数有一个为0的所有情况)
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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