已知,分别以AB/AC为边向三角形ABC外作正方形ABDE,M,N,P,Q分别是EF,BC,EB,FC的中点,证明MPNQ为正方形%D%A

题目

已知,分别以AB/AC为边向三角形ABC外作正方形ABDE,M,N,P,Q分别是EF,BC,EB,FC的中点,证明MPNQ为正方形%D%A

答案

连接EC、FB,交点为O 可看出△FBE中,MP为中位线,则有MP//FC且MP=FC； 同理,△FBC中,QN为中位线,则有QN//FC且QN=FC.故,MP与NQ平行且相等.推出MPNQ为平行四边形.若∠CAB为锐角：∠FAB=∠CAB+∠CAF=∠CAB+90°,∠EAC=∠BAC+∠BAE=∠CAB+90° 有∠FAB=∠EAC 若∠CAB为钝角：∠FAB=360°-(∠CAB+∠CAF)=270°-∠CAB,∠EAC=360°-(∠BAC+∠BAE)=270°-∠CAB 有∠FAB=∠EAC 若∠CAB为直角：有∠FAB=∠EAC=180° 总之,∠FAB=∠EAC 因AB=AE,AC=AF,可证,△FAB≌△CAE,所以FB=EC,所以MP=MQ,推出平行四边形MPNQ为菱形 因△FAB≌△CAE,所以∠AFB=∠ACE,有：∠COF=180°-∠FCO-∠CFO=180°-∠FCA-∠CFA=∠CAF=90° 即OF⊥OC,即BF⊥EC,所以MP⊥MQ,推出菱形MPNQ为正方形