大一高数题（洛必达法则）

题目

大一高数题（洛必达法则）
lim(x趋于0）[(1+x)^(1/x)-e]/x

答案

把(1+x)^(1/x)化成e^ln[(1+x)^(1/x)]=e^[(1/x)*ln(1+x)]
则原式分子为e*(e^[(1/x)*ln(1+x)-1]-1)∽e*[(1/x)*ln(1+x)-1]
上面用了等价无穷小代换
lim(x趋于0）[(1+x)^(1/x)-e]/x=e*lim(x趋于0）[(1/x)*ln(1+x)-1]/x
=e*lim(x趋于0）[ln(1+x)-x]/x^2
洛必达法则[1/(1+x)-1]/2x=1/2(1+x)
原式极限为e/2