如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1是它的对角线,AC,A1C1,AB1,B1C是各自所在面的对角线

题目

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1是它的对角线,AC,A1C1,AB1,B1C是各自所在面的对角线
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD1是它的对角线,AC,A1C1,AB1,B1C是各自所在面的对角线
（1）求BD1与底面ABCD所成角的正切值
(2)求证A1C1∥面ACB1
（3）求证BD1⊥AC

答案

（1）设正方体边长=a

BD=√2a
∵DD1⊥面ABCD
∴BD1与底面ABCD所成角=∠D1BD

tan∠D1BD=a/√2a=√2/2
(2)
∵A1C1∥AC

AC在面ACB1内

∴A1C1∥面ACB1

（3）
∵D1C⊥面B1C1CB
∴B1C⊥D1C
∵BC1⊥B1C
∴BC1⊥面D1C1B
∴BD1⊥BC1
同理AB1⊥面D1A1B
∴AB1⊥BD1
∴BD1⊥面AB1C
∴BD1⊥AC