中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为32,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为32,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.

题目
中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆,它的离心率为
3
2
,与直线x+y-1=0相交于M、N两点,若以MN为直径的圆经过坐标原点,求椭圆方程.
答案
设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
∵e=
3
2

∴a2=4b2,即a=2b.
∴椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1.把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0.
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
则x1+x2=
8
5
,x1x2=
1
5
(4-4b2),
∴y1y2=(1-x1)(1-x2
=1-(x1+x2)+x1x2
=
1
5
(1-4b2).
∵OM⊥ON,
∴x1x2+y1y2=0,
解得b2=
5
8
,a2=
5
2

∴椭圆方程为
2
5
x2+
8
5
y2=1.
设椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),依题意椭圆方程可转化为
x2
4b2
+
y2
b2
=1,与直线x+y-1=0联立,设M(x1,y1)、N(x2,y2),利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0,利用韦达定理可得到关于b的关系式,从而可求得b2与a2

椭圆的标准方程.

本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆锥曲线的位置关系,突出考查韦达定理的应用,考查待定系数法及综合分析与运算能力,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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