已知:E是正方形ABCD的边BC上的中点,F是CD一点,AE平分∠BAF. 求证:AF=BC+CF.

已知:E是正方形ABCD的边BC上的中点,F是CD一点,AE平分∠BAF. 求证:AF=BC+CF.

题目
已知:E是正方形ABCD的边BC上的中点,F是CD一点,AE平分∠BAF.
求证:AF=BC+CF.
答案
证法1:作EM⊥AF于M.∵∠B=90°,
∴∠B=∠AME=90°,
∵∠1=∠2,AE是公共边,
∴BE=EM,∴Rt△ABE≌Rt△AME.∴AM=AB=BC,EM=BE.①
连接EF,E是BC中点,∴EC=BE=EM∴Rt△EMF≌Rt△ECF,∴FM=FC、②
综合①、②得AF=AM+MF=BC+CF.

证法2:过中点E作EM∥AB,交AF于M.则AM=MF,且∠1=∠2=∠3.
∴EM=AM=
1
2
AF
∵EM=
1
2
(AB+CF),
∴AF=AB+CF=BC+CF.
证法1:作EM⊥AF于M,连接EF,根据已知和正方形的性质分别证明Rt△ABE≌Rt△AMERt,Rt△EMF≌Rt△ECF,得出EM=BE,FM=FC,从而得出结论.
证法2:过中点E作EM∥AB,交AF于M.通过中位线的性质证明EM=
1
2
(AB+CF),从而得出结论.

全等三角形的判定与性质;正方形的性质.

本题考查了正方形的性质,及全等三角形的判定和性质.合理的将AF分成与BC,CF相等的两份是解题的关键,本题难度较大.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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