椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的内接等腰三角形的顶点A的坐标为（0,b),其底边BC上的高在y轴上,若ΔABC的面积不超过(3/2)•

题目

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的内接等腰三角形的顶点A的坐标为（0,b),其底边BC上的高在y轴上,若ΔABC的面积不超过(3/2)•b²,求其离心率的范围.

答案

根据底边BC上的高在y轴上,则底边平行于X轴
设BC所在直线方程为y=m,则B、C横坐标分别为-a√(1-m²/b²),a√(1-m²/b²)
则三角形面积为S=1/2*(b-m)*2a√(1-m²/b²)=a(b-m)√(1-m²/b²)
将（b-m）放到根号里,得S=a√(-m^4/ b²+2m^3/ b²-2bm+ b²)
设f(m)=-m^4/ b²+2m^3/ b²-2bm+ b²,求此函数的最大值
f’(m)=-4m^3/ b²+6m2/b-2b
另f’(m)=0,得
m=b或m=-b/2
m=b时取最小值,为0；m=-b/2时取最大值
代入得,S=(3√3)ab/4
S≤(3/2)•b²
最后得0