求下列的不定积分!∫（3+2x)8dx ;∫dx/√x(1+x);∫1/1+e-xdx;∫1/ex+e-xdx;∫xe-xdx;∫arcsinxdx;列出过程

题目

求下列的不定积分!∫（3+2x)8dx ;∫dx/√x(1+x);∫1/1+e-xdx;∫1/ex+e-xdx;∫xe-xdx;∫arcsinxdx;列出过程

答案

∫ (3 + 2x)⁸ dx
= (1/2)∫ (3 + 2x)⁸ d(2x)
= (1/2)∫ (3 + 2x)⁸ d(3 + 2x)
= (1/2)(1/9)(3 + 2x)⁹ + C
= (1/18)(3 + 2x)⁹ + C
∫ dx/√[x(1 + x)]
= ∫ dx/√(x² + x)
= ∫ dx/√[(x + 1/2)² - 1/4]
= ln|x + 1/2 + √(x² + x)| + C
∫ dx/(1 + e^(- x))
= ∫ e^x/(1 + e^x) dx
= ∫ d(1 + e^x)/(1 + e^x)
= ln(1 + e^x) + C
∫ dx/(e^x + e^(- x))
= ∫ e^x/(1 + e^2x) dx
= ∫ d(e^x)/(1 + e^2x)
= arctan(e^x) + C
∫ xe^(- x) dx = - ∫ x de^(- x)
= - xe^(- x) + ∫ e^(- x) dx
= - xe^(- x) - e^(- x) + C
= - (x + 1)e^(- x) + C
∫ arcsin(x) dx
= xarcsin(x) - ∫ x d(arcsin(x))
= xarcsin(x) - ∫ x/√(1 - x²) dx
= xarcsin(x) - (- 1/2)∫ d(1 - x²)/√(1 - x²)
= xarcsin(x) + (1/2) · 2√(1 - x²) + C
= xarcsin(x) + √(1 - x²) + C