在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c.求证向量OG=1/3(a+b+c)

题目

在四面体O-ABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c.求证向量OG=1/3(a+b+c)

答案

(图没有,自己画个简图理解···）
过点G作中心对称变换,得到一个与四面体O-ABC关于点G中心对称的四面体
O'-ABC,可知六面体O'OABC是平行六面体.
这样,向量a+b+c的值就是向量OO'.
接下来,设O-ABC的重心为K,延长OG至K',使KO=OK',
延长OH交BC于L.
可证得OG=GG'=2KG,这样就有OG=（2/6）*OO'=1/3(a+b+c)