已知抛物线f(x)=ax2+bx+1/4的最低点为(-1,0),(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.
题目
已知抛物线f(x)=ax
2+bx+
的最低点为(-1,0),
(1)求不等式f(x)>4的解集;
(2)若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,求实数t的取值范围.
答案
(1)依题意,有
⇒
,
因此,f(x)的解析式为f(x)=
()2;
故f(x)>4⇒x
2+2x-15>0,解得x<-5或x>3,
所以不等式的解集为:{x|x<-5或x>3};
(2)由f(x-t)≤x(1≤x≤9),得
()2≤x(1≤x≤9),
解之得,
(-1)2≤t≤(+1)2(1≤x≤9),
由此可得
t≤[(+1)2]min=4且
t≥[(-1)2]max=4,
所以实数t的取值范围是{t|t=4}.
(1)由题意可得f(-1)=0,-
=−1,解出方程组可求得a,b,利用二次函数的性质可解不等式f(x)>4;
(2)由f(x-t)≤x(1≤x≤9),可解得
(−1)2≤t≤(+1)2(1≤x≤9),问题可转化为
t≤[(+1)2]min且
t≥[(−1)2]max,解出相应函数的最值即可;
二次函数的性质.
本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题,深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键,恒成立问题常转化为函数最值解决.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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