一道数学概率题：某人和机器人进行胜负概率为1/2的游戏比赛,开始时此人所持分是10分,胜时得1分,负时失2

题目

一道数学概率题：某人和机器人进行胜负概率为1/2的游戏比赛,开始时此人所持分是10分,胜时得1分,负时失2
负时失2分,当此人所持分数为0或1时游戏结束,求恰好9次游戏结束的概率.
参考答案写的是25/256

答案

假设这个人玩过9次之后输了x次,则赢了9-x次.
如果恰好9次结束,则在第9次上得分恰好是0或者1分,并且之前8次不曾出现0或者1的分,否则之前就已经结束了.
因为得分每次或者+1,或者-2,所以之前的得分不会少于1分.也就是说,在第9次的时候积分恰好第一次低于2分.
由不等式：
10 + (9-x) - 2x < 2
化为
19 - 3x < 2
解得
x > 17/3
x取整数得 x>=6.
也即这个人至少输了6次,根据刚才的分析,这个人只能是在第9次的时候输了第6次才能“恰好9次结束”,所以前8次比赛一定是这个人3胜5负的局面.
概率为：
C(8, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^5 = 56/256
但是必须排除掉前8轮就已经输光的局面,
也就是说,前8轮任意时刻积分不能低于2分.
这个人只要不是开局5连负就能满足,所以前8局的2^8=256种情况中刚才多算了6种
比赛提前结束的情况.
包括：
前5轮5连负,积分为0,第5轮就结束了；
前6轮1胜夹在5负之间,第七轮开始时积分为1,实际上第6轮就已经结束了；
1胜夹在5负之间的情况一共是5种.
因此概率应该是
(56-6)/256 = 50/256
第9次只要再负即可,所以总的概率是
50/256 * 1/2 = 50/512 = 25/256
希望有用.
楼主不用担心,这个结果肯定正确,我刚才用程序验证了所有的512种情况.