如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD切⊙O于点C,且∠DAC=∠BAC. (1)试说明:AD⊥CD; (2)若AD=4,AB=6,求AC.
题目
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD切⊙O于点C,且∠DAC=∠BAC.
(1)试说明:AD⊥CD;
(2)若AD=4,AB=6,求AC.
答案
(1)证明:连接OC;
∵CD切⊙O于点C,
∴OC⊥CD,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵∠DAC=∠BAC,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∴AD⊥CD;
(2)连接BC,∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
在△ADC与△ACB中,
,
∴△ADC∽△ACB,
∴
=
,
即AC
2=AD•AB,
∵AD=4,AB=6,
∴AC=
=2
.
(1)连接OC,根据CD是⊙O的切线可得OC⊥CD,然后证明CO∥AD即可得证明;(2)根据两角对应相等,两三角形相似证明△ADC∽△ACB,然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式,代入数据进行计算即可求解.
弦切角定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
此题主要考查的是切线的判定方法.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时也考查了相似三角形在圆中的应用和计算,此类题目属于中等题目,要求学生具备一定的知识综合运用能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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