在三角形ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,它的面积S＝(a^2＋b^2－c^2)／4

题目

在三角形ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,它的面积S＝(a^2＋b^2－c^2)／4
1 求角C
2 若边c＝4,求三角形ABC面积S的最大值

答案

1,根据余弦定理,和三角形面积公式S=absinC/2,代入等式,得
absinC/2=(a^2＋b^2－c^2)／4
sinC=(a^2＋b^2－c^2)／(2ab)=cosC
∴tanC=1
∴C=π/4
2,S＝(a^2＋b^2－c^2)／4=(a^2＋b^2－16)／4-----------------（1）
由S=absinC/2,得ab=2S/sinC=2√2S
∴a^2＋b^2≥2ab=4S/sinC=4√2S
于是由（1）得
S=(a^2＋b^2－16)／4≥(4√2S-16)/4=√2S-4
(√2-1)S≤4
S≤4(√2+1)
当且仅当a=b时等号成立
即三角形ABC面积S的最大值为4(√2+1)