已知f(x)=cos2x/1+tan^2x,求f(1°)+f(2°)+.+f(89°)的值

题目

已知f(x)=cos2x/1+tan^2x,求f(1°)+f(2°)+.+f(89°)的值

答案

f(x)=cos(2x)/[1+tan^2(x)]=[1-2sin^2(x)]/[1+tan^2(x)]
=cos^2(x)-2sin^2(x)cos^2(x);
f(1)+f(89)=cos^2(1)-2sin^2(1)cos^2(1)+cos^2(89)-2sin^2(89)cos^2(89)
=cos^2(1)+sin^2(1)-2sin^2(1)cos^2(1)-2sin^2(1)cos^2(1)
=1-4sin^2(1)cos^2(1)=1-sin^2(2)
以此类推:
f(2)+f(88)=1-sin^2(4)
...
f(44)+f(46)=1-sin^2(88)
f(45)可以直接代入计算,得到f(45)=0;
这样,我们得到了化简后的式子：
f(1)+f(2)+...+f(89)=44-[sin^2(2)+sin^2(4)+...+sin^2(88)]
因为sin^2(a)=cos^2(90-a),
所以,
sin^2(2)+sin^2(88)=1,
sin^2(4)+sin^2(86)=1,
...
sin^2(44)+sin^2(46)=1
得到：
f(1)+f(2)+...+f(89)=44-22=22
因此最终答案为22.