已知，AB、AC是圆O的切线，B、C是切点，BD是圆O的直径，连接AO、CD， （1）求证：OA∥CD； （2）过D点作AC的平行线，分别交AB、AO于E、F，若AB=BD，求tan∠BDE的值．

题目

已知，AB、AC是圆O的切线，B、C是切点，BD是圆O的直径，连接AO、CD，

（1）求证：OA∥CD；
（2）过D点作AC的平行线，分别交AB、AO于E、F，若AB=BD，求tan∠BDE的值．

答案

（1）连接BC，交OA于点G，
∵AB、AC是圆O的切线，B、C是切点，
∴AB=AC，AO为∠CAB的平分线，
∴AG⊥BC，
∴∠GOC+∠GCO=90°，
∵BD为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCO+∠OCD=90°，
∴∠GOC=∠OCD，
∴OA∥CD；
（2）∵DE∥AC，
∴∠AFE=∠CAF，
∵∠EAF=∠CAF，
∴∠AFE=∠EAF，
∴∠BED=2∠EAF，
∵AB=BD，O为BD的中点，
∴tan∠BAO=

1

2

，
∴tan∠BED=

2tan∠BAO

1−tan2∠BAO

=

4

3

，
则tan∠BDE=

3

4

．