已知函数f(x)＝3sinx•cosx+sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出？

题目

已知函数f(x)＝

3

sinx•cosx+sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数f（x）的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出？

答案

（I）∵函数f(x)＝

3

sinx•cosx+sin2x=

3

2

sin2x+

1−cos2x

2

=sin(2x−

π

6

)+

1

2

∴函数f（x）的最小正周期为π；　…（5分）
由2kπ−

π

2

≤2x−

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒kπ−

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ−

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）．　…（8分）
（Ⅱ）∵f(x)＝sin(2x−

π

6

)+

1

2

＝sin2(x−

π

12

)+

1

2

，
∴先由函数y=sin2x的图象向右平移

π

12

个单位，再把图象向上平移

1

2

个单位，即可得到函数f（x）的图象．…（12分）

（I）利用二倍角、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）利用“左加右减，上加下减”，即可得到结论．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．