设函数f(x)=p(x-1/x)-2lnx,g(x)=x2, (I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值; (II)若f(x)在其定义域
题目
设函数f(x)=p(x-
)-2lnx,g(x)=x
2,
(I)若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求实数p的值;
(II)若f(x)在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围.
答案
(Ⅰ)方法一:∵
f′(x)=p+−,∴f'(1)=2p-2.
设直线,并设l与g(x)=x
2相切于点M(x
0,y
0)
∵g'(x)=2x,∴2x
0=2p-2,解得
∴
x0=p−1,y0=(p−1)2,
代入直线l方程解得p=1或p=3.
方法二:将直线方程l代入y=x
2得2(p-1)(x-1)=0,
∴△=4(p-1)
2-8(p-1)=0,
解得p=1或p=3.
(Ⅱ)∵
f′(x)=p+−=
..
①要使f(x)为单调增函数,f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,
即px
2-2x+p≥0在(0,+∞)恒成立,即
p≥=在(0,+∞)恒成立,
又
≤1,所以当p≥1,此时f(x)在(0,+∞)为单调增函数;
②要使f(x)为单调减函数,须f'(x)<0在(0,+∞)恒成立,
即在(0,+∞)恒成立,即
p≤,(0,+∞)恒成立,又
≥0,所以p≤0.当p≤0时,f(x)在(0,+∞)为单调减函数.
综上,若f(x)在(0,+∞)为单调函数,则p的取值范围为p≥1或p≤0.
(I)分别求出f(x),g(x)的导数,利用直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,求出它们导数之间的关系.
(II)f(x)在其定义域内为单调函数,则说明导数f'(x)>0,或f'(x)<0,恒成立.
利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查导数的应用,要正确理解函数单调性与导数之间的关系.当函数函数单调递增时,得f'(x)≥0,不能漏掉等号.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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