已知圆 O:x2+y2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,则AB的中点Q的轨迹方程为_.
题目
已知圆 O:x2+y2=4,圆内有定点P(1,1),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,则AB的中点Q的轨迹方程为______.
答案
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),AB的中点Q(x,y),
则x
1+x
2=2x,y
1+y
2=2y,
又P(1,1),且PA⊥PB,
∴
=|PQ|,即|AB|
2=4|PQ|
2,
则
(x1-y1)2+(x2-y2)2=4(x-1)2+4(y-1)2.
整理得:
x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=4(x-1)2+4(y-1)2 ①
又∵点A、B在圆上,∴
x12+y12=x22+y22=4 ②
再由PA⊥PB,得
•=0,即(x
1-1)(x
2-1)+(y
1-1)(y
2-1)=0.
整理得:x
1x
2+y
1y
2-(x
1+x
2)-(y
1+y
2)+2=0,
∴x
1x
2+y
1y
2=2x+2y-2 ③
把②③代入①得:
(x-)2+(y-)2=.
∴AB的中点Q的轨迹方程为
(x-)2+(y-)2=.
故答案为:
(x-)2+(y-)2=.
设出A、B和Q的坐标,由PA⊥PB,结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列式,再由点A和B的坐标适合圆的方程及
•=0列式得到A,B的坐标和Q坐标的关系,整体代入后即可得到AB的中点Q的轨迹方程.
轨迹方程.
本题考查了轨迹方程,考查了直角三角形中边角的关系,训练了利用代入法求轨迹方程,是中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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