图（1）是面积都为S的正n边形（n≥3），图（2）是由图（1）中的每个正多边形分别对应“扩展”而来．如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作

题目

图（1）是面积都为S的正n边形（n≥3），图（2）是由图（1）中的每个正多边形分别对应“扩展”而来．如：图（2）中的a是由图（1）中的正三角形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正三角形，并把居中线段去掉而得到；图（2）中的b是由图（1）中的正四边形的每边长三等分，以居中的一条线段向外作正四边形，并把居中线段去掉而得到…，以此类推，当图（1）中的正多边形是正十边形时，图（2）中所有“扩展”后的图形面积和为248．则S的值是______．

答案

因为每个“扩展”的正多边形都与原多边形相似，其相似比为

1

3

，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，列方程
8S+3×（

1

3

）²S+4×（

1

3

）²S+5×（

1

3

）²S+…+10×（

1

3

）²S=248
即：8S+

3+4+5+…+10

9

S=248
124S=9×248，
解得S=18．
故答案为：18．