函数f（x）=sin2x-3cosx（x∈[0，π]）的值域是_．

题目

函数f（x）=sin²x-

3

cosx（x∈[0，π]）的值域是______．

答案

∵f（x）=sin²x-

3

cosx
=1-cos²x-

3

cosx
=-(cosx+

3

2

)2+

7

4

，
∵x∈[0，π]，
∴-1≤cosx≤1，
∴当cosx=1时，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-

3

；
当cosx=-

3

2

时，f（x）取得最大值，f（x）_max=

7

4

；
∴函数f（x）=sin²x-

3

cosx（x∈[0，π]）的值域是[-

3

，

7

4

]．
故答案为：[-

3

，

7

4

]．

将f（x）=sin²x-

3

cosx转化为关于cosx的二次函数，利用复合函数的单调性即可求得x∈[0，π]时的值域．

本题考点：复合三角函数的单调性．

考点点评：本题考查复合三角函数的单调性，将f（x）=sin²x-

3

cosx转化为关于cosx的二次函数是关键，也是难点，属于中档题．