数列{an}中,an>0,且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,满足anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N),则公比q的取值范围是(  ) A.0<q<1+22 B.0<

数列{an}中,an>0,且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,满足anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N),则公比q的取值范围是(  ) A.0<q<1+22 B.0<

题目
数列{an}中,an>0,且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,满足anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N),则公比q的取值范围是(  )
A. 0<q<
1+
2
2

B. 0<q<
1+
5
2

C. 0<q<
−1+
2
2

D. 0<q<
−1+
5
2
答案
法1:∵{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,
∴设anan+1=(a1a2)qn−1
不等式可化为(a1a2)qn−1+(a1a2)qn>(a1a2)qn+1
∵an>0,q>0,
∴q2-q-1<0,
解得:0<q<
1+
5
2

法2:令n=1,不等式变为a1a2+a2a3>a3a4
a1a2+a1a2⋅q>a1a2q2
∵a1a2>0,∴1+q>q2
解得:0<q<
1+
5
2

故选B
法1:由{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设此等比数列的公比为q,利用等比数列的通项公式表示出anan+1的通项,利用得到的通项化简已知的不等式,根据an>0且q>0,得到a1a2>0,在不等式左右两边同时除以a1a2,得出关于公比q的不等式,求出不等式的解集即可得到q的取值范围;
法2:把n=1代入已知的不等式,得到a1a2+a2a3>a3a4,由{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设此等比数列的公比为q,利用等比数列性质化简后,根据a1a2>0,在不等式左右两边同时除以a1a2,得出关于公比q的不等式,求出不等式的解集即可得到q的取值范围.

等比数列的性质.

此题考查了等比数列的性质,等比数列的通项公式,以及一元二次不等式的解法,熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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