在对数函数y=log2x的图象上,有A、B、C三点,它们的横坐标依次为a,a+1,a+2,其中a≥1,求△ABC面积的最大值.

在对数函数y=log2x的图象上,有A、B、C三点,它们的横坐标依次为a,a+1,a+2,其中a≥1,求△ABC面积的最大值.

题目
在对数函数y=log2x的图象上,有A、B、C三点,它们的横坐标依次为a,a+1,a+2,其中a≥1,求△ABC面积的最大值.
答案
∵横坐标为a,a+1,a+2(a≥1),对应的纵坐标就要逐渐增大
分别过ABC作AA′,BB′,CC′与x轴垂直,垂足分别为A′,B′,C′
三角形ABC,的面积S=SAABB+SBBC CSAACC
=
log2a+log2(a+1)
2
+
log2(a+1)−log2(a+2)
2
log2a+log2(a+2)
2
×2
(5分)
=
1
2
log2
a(a+2)(a+1)2
[a(a+2)]2
=
1
2
log2
(a+1)2
a(a+2)

=
1
2
log2
a2+2a+1
a2+2a

=
1
2
log2(1+
1
a2+2a
)

∵a≥1
∴a2+2a=(a+1)2-1≥3
0<
1
a2+2a
1
3
1<1+
1
a2+2a
4
3

Smax
1
2
log2
4
3
(12分)
由题意可先表示三角形ABC的面积S=SAABB+SBBC CSAACC=
log2a+log2(a+1)
2
+
log2(a+1)−log2(a+2)
2
log2a+log2(a+2)
2
×2
=
1
2
log2(1+
1
a2+2a
)
,结合a≥1可求a2+2a=(a+1)2-1的范围,进而可求S的最大值

对数函数图象与性质的综合应用.

本题主要考查了利用分割求解图象的面积,对数运算性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最大值,属于知识的简单综合

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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