在对数函数y=log2x的图象上，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

题目

在对数函数y=log₂x的图象上，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a，a+1，a+2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

答案

∵横坐标为a，a+1，a+2（a≥1），对应的纵坐标就要逐渐增大
分别过ABC作AA′，BB′，CC′与x轴垂直，垂足分别为A′，B′，C′
三角形ABC，的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C
=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)−log2(a+2)

2

−

log2a+log2(a+2)

2

×2（5分）
=

1

2

log2

a(a+2)(a+1)2

[a(a+2)]2

=

1

2

log2

(a+1)2

a(a+2)

=

1

2

log2

a2+2a+1

a2+2a

=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)
∵a≥1
∴a²+2a=（a+1）²-1≥3
∴0＜

1

a2+2a

≤

1

3

，1＜1+

1

a2+2a

≤

4

3

Smax＝

1

2

log2

4

3

（12分）

由题意可先表示三角形ABC的面积S=SAA′B′B+SBB′C′ C−SAA′C′C=

log2a+log2(a+1)

2

+

log2(a+1)−log2(a+2)

2

−

log2a+log2(a+2)

2

×2=

1

2

log2(1+

1

a2+2a

)，结合a≥1可求a²+2a=（a+1）²-1的范围，进而可求S的最大值

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题主要考查了利用分割求解图象的面积，对数运算性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最大值，属于知识的简单综合