如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点， （1）证明A、P、O、M四点共圆； （2）求∠OAM+∠APM的大小．

题目

如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，且与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，

（1）证明A、P、O、M四点共圆； 
（2）求∠OAM+∠APM的大小．

答案

（1）证明：连结OP，OM，
∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，
∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，
∴A、P、O、M四点共圆…（5分）
（2）由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM=∠OPM，
由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM+∠APM=90°，
∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）