窗户的上部是半圆形,下部是矩形,如果窗框的外沿的周长固定为6m,半圆的半径是多长时,窗户透光的面积最大?

题目

窗户的上部是半圆形,下部是矩形,如果窗框的外沿的周长固定为6m,半圆的半径是多长时,窗户透光的面积最大?

答案

设半圆半径为X,那么直径是2X
下部矩形的长也是2X,半圆形的弧长是2πr/2=πX=3.14X
所以矩形的两条宽长为（6﹣2X﹣3.14X）/2=3﹣（5.14X/2）
窗户透光面积S=（πX²/2）＋【3﹣（5.14X/2）】×2X=1.57X²＋6X﹣5.14X²=﹣3.57X²＋6X
所以当X=﹣b/2a=﹣6/2×（﹣3.57）=0.84m
S=﹣3.57X²＋6X=﹣3.57×（0.84）²＋6×0.84=2.52m²
所以当半圆的半径是0.84米时,窗户透光的面积最大为2.52平方米