已知函数f（x）的定义域为R,且不恒为0,对任意的x、y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),求证：f(x)为奇函数

题目

已知函数f（x）的定义域为R,且不恒为0,对任意的x、y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),求证：f(x)为奇函数

答案

令x=y=0
则有f(0)=2f(0)可得f（0）=0
再令x=-y（x为任意实数）
则有f（x+y）=f（0）=f(x)+f(y)=0
可得f（x）=—f（y）=-f（-x）
故可以得出f(x)为奇函数