已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]2，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f（n）（x）是（　　） A.n![f（x）]n+1 B.n[f（x）]n+1 C.[f（x）

题目

已知函数f（x）具有任意阶导数，且f′（x）=[f（x）]²，则当n为大于2的正整数时，f（x）的n阶导数f^（n）（x）是（　　）
A. n![f（x）]ⁿ⁺¹
B. n[f（x）]ⁿ⁺¹
C. [f（x）]²ⁿ
D. n![f（x）]²ⁿ

答案

设y=f（x），则可建立微分方程

dy

dx

＝y2
∴

dy

y2

＝dx，解得y＝−

1

x+C

（C为常数）
又由高阶导数公式：(

1

x

)(n)＝

(−1)nn!

xn+1

，f^（n）（x+a）=[f（x+a）]^（n）
∴y(n)＝(−

1

x+C

)(n)＝

(−1)n+1n!

(x+C)n+1

＝n!yn+1
故选：A．